Bu çalışmada ilk olarak Zafrullah'ın vermiş olduğu genelleştirilmiş çarpanlanabilir aritmetik fonksiyon kavramının yeni genellemeleri verilmiştir. Sonra bu genellemelere ait özel aritmetik fonksiyonlar tanımlanarak, bu genellemelere ait bazı özellikler ispatlanmıştır. İkinci olarak aritmetik fonksiyonlar kümesinde p>0 tek asal, neZ+ nin pozitif böleni d, (n, p)=l ve nRp olmak üzere (o/p) legendre sembolünü kullanarak Legendre Çarpımı olarak adlandırdığımız yeni bir çarpımı (f*pg)(n)=V(d/p)f(d)g(- ) biçiminde tanımlanmıştır. Bu çarpımın cebirsel d|n d özellikleri incelenmiştir. Son olarak özel legendre aritmetik fonksiyonları, Legendre serisi ve Up-Legendre serileri tanımlanarak bu serilerin özellikleri incelenmiştir.
In this study we introduced new generalizations of generalized multiplicative arithmetic functions given by Zafrullah. Then, we proved some properties of these generalizations defining by the special arithmetic functions that belong to these generalizations. Secondly, Legendre convolution of arithmetical functions f and g is defined by (f*pg)(n) = ^(g/p)f(d)g(- ), where (o/p) is a legendre symbol such that n is a positive integer, d is positive divisor of n and p is a odd prime which is (p, n)=l. We called this new convolution as Legendre Convolution of arithmetic functions. The algebraic properties of these convolution has been investigated. Finally, Special Legendre arithmetic functions, Legendre series and Up-Legendre series were defined by Legendre convolution and the properties of these series have been investigated.
